Question

已知橢圓C：，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）點(diǎn)O到直線AB的距離是定值．設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d=|x₁|=；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓C：聯(lián)立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得到O到直線AB的距離d==．由此能求出點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．
（Ⅱ）（法一：參數(shù)法）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-，解方程組，得，同理可求得，由此能推導(dǎo)出|OA|•|OB|的最小值．
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離．在Rt△OAB中，d=，故有=，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
法三：（三角函數(shù)法）由（Ⅰ）知，在Rt△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=．設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．所以，|OA|×|OB|==，由此能求出|OA|•|OB|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)O到直線AB的距離是定值．
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵，即x₁x₂+y₁y₂=0，也就是，代入橢圓方程解得：．
此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d=|x₁|=．…（2分）
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓C：聯(lián)立，
消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵，，…（3分）
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²），…（4分）
代入得：，
整理得5m²=4（k²+1），…（5分）
O到直線AB的距離d==．
綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．…（6分）
（Ⅱ）（法一：參數(shù)法）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-，
解方程組，得，
同理可求得，
故
=．…（9分）
令1+k²=t（t＞1），則|OA|•|OB|=4=4，
令=-9（t＞1），所以4＜g（t）≤，即．…（11分）
當(dāng)k=0時(shí)，可求得|OA|•|OB|=2，故，故|OA|•|OB|的最小值為，最大值為2．…（13分）
法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O到直線AB的距離．
在Rt△OAB中，d=，故有=，
即，…（9分）
而|OA|²+|OB|²≥2|OA|×|OB，（當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)取等號(hào)）
代入上式可得：，
即，（當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|時(shí)取等號(hào)）．…（11分）
故|OA|•|OB|的最小值為．…（13分）
法三：（三角函數(shù)法）由（Ⅰ）可知，如圖，在Rt△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=．
設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ，故|OA|=，|OB|=．…（9分）
所以，|OA|×|OB|==，…（11分）
顯然，當(dāng)2θ=，即時(shí)，|OA|•|OB|取得最小值，最小值為．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值，求線段乘積的最小值．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．