Question

對于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=

f(x)•g(x)，當(dāng)x∈M且x∈N f(x)，當(dāng)x∈M且x∉N g(x)，當(dāng)x∉M且x∈N

（1）若函數(shù)f（x）=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數(shù)y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)定義域的求法求出M，N，即可得到函數(shù)h（x）的解析式，再結(jié)合基本不等式進而求出函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+a）的定義域為R；再結(jié)合函數(shù)h（x）的表達式得到cosx=f（x）•f（x+a）；然后可以將cosx分解成兩個函數(shù)的乘積，而且這兩個函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化．

解答：解（1）由函數(shù)f(x)=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R可得M={x|x≠-1}，N=R
從而h(x)=

x2+2x+2 x+1 ，x≠-1 1，x=-1

…..（2分）
當(dāng)x＞-1時，h(x)=

x2+2x+2

x+1

=

(x+1)2+1

x+1

=x+1+

1

x+1

≥2…．（4分）
當(dāng)x＜-1時，h(x)=

x2+2x+2

x+1

=

(x+1)2+1

x+1

=-(-x-1+

1

-x-1

)≤-2…．（6分）
所以h（x）的取值集合為{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．（7分）
（2）由函數(shù)y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+a）的定義域為R
所以，對于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）即對于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
所以，我們考慮將cosx分解成兩個函數(shù)的乘積，而且這兩個函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化cosx=cos2

x

2

-sin2

x

2

=(cos

x

2

+sin

x

2

)(cos

x

2

-sin

x

2

)=

2

cos(

x

2

-

π

4

)•

2

cos(

x

2

+

π

4

)
所以，令f(x)=

2

cos(

x

2

-

π

4

)，且α=π，即可    …..（14分）
又cosx=1-2sin2

x

2

=(1+

2

sin

x

2

)(1-

2

sin

x

2

)
所以，令f(x)=1+

2

sin

x

2

，且α=2π，即可（答案不唯一）

點評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法以及函數(shù)的值域的求法．分段函數(shù)的值域是先分段求出，最后再綜合．