Question

對于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=
（1）若函數(shù)f（x）=+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數(shù)y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

解（1）由函數(shù)可得M={x|x≠-1}，N=R
從而…..
當(dāng)x＞-1時，…．
當(dāng)x＜-1時，…．
所以h（x）的取值集合為{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．
（2）由函數(shù)y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+a）的定義域為R
所以，對于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）即對于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
所以，我們考慮將cosx分解成兩個函數(shù)的乘積，而且這兩個函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化=
所以，令，且α=π，即可 …..
又
所以，令，且α=2π，即可（答案不唯一）
分析：（1）先根據(jù)函數(shù)定義域的求法求出M，N，即可得到函數(shù)h（x）的解析式，再結(jié)合基本不等式進而求出函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+a）的定義域為R；再結(jié)合函數(shù)h（x）的表達式得到cosx=f（x）•f（x+a）；然后可以將cosx分解成兩個函數(shù)的乘積，而且這兩個函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化．
點評：本題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法以及函數(shù)的值域的求法．分段函數(shù)的值域是先分段求出，最后再綜合．