Question

已知點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到A的距離與到B的距離之比為2．
（1）求P點(diǎn)的軌跡E的方程；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l：mx+（2m-1）y-5m+1=0被曲線E截得的弦最短．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可知：|PA|=2|PB|，由兩點(diǎn)間的距離公式化簡可得軌跡E的方程．
（2）要使得直線l被曲線E截得的弦最短，需 d=

|5m-5m+1|

m2+(2m-1)2

=

1

5m2-4m+1

達(dá)到最大，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)m=

2

5

時(shí)，d取得最大值．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可知：|PA|=2|PB|，則

(x+3)2+y2

=2

(x-3)2+y2

，
故P點(diǎn)的軌跡E的方程為：（x-5）²+y²=16．
（2）要使得直線l被曲線E截得的弦最短，必須圓心O₁（5，0）到直線l的距離最大，
此時(shí)d=

|5m-5m+1|

m2+(2m-1)2

=

1

5m2-4m+1

達(dá)到最大，
令f（m）=5m²-4m+1，則f（m）在m=

2

5

時(shí)，取得最小值

1

5

，d取得最大值．
故當(dāng)m=

2

5

時(shí)，直線l被曲線E截得的弦最短，此時(shí)弦長為2

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，求得d的最大值是解題的關(guān)鍵．