Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=

1

6

（a_n²+3a_n+2），n∈N⁺）．
（1）求a_n；
（2）若a_kn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，且a_k1，a_k2，…，a_kn，…成等比數(shù)列，當k₁=1，k₂=4時，求k_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=

1

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（a_n²+3a_n+2），得當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

6

(an2-an-12+3an-3an-1)，整理后結(jié)合a_n＞0可得a_n-a_n-1=3，即數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由ak1=a1=1，ak2=a4=10，可得數(shù)列{akn}是首項為1，公比為10的等比數(shù)列．又akn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，由通項相等可求k_n的值．

解答： 解：（1）由S_n=

1

6

（a_n²+3a_n+2），得
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

6

(an2-an-12+3an-3an-1)，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
故a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）ak1=a1=1，ak2=a4=10，
∴數(shù)列{akn}是首項為1，公比為10的等比數(shù)列．
則akn=10n-1，
又akn∈{a₁，a₂，…，a_n，…}，
∴akn=3kn-2=10n-1，
∴kn=

10n-1+2

3

，n∈N*．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．