Question

雙曲線3x²-y²=1與直線ax-y+1=0相交于A、B兩點．
（1）求a的取值范圍；
（2）a為何值時，∠AOB＞90°（其中O為原點）．

Answer 1

分析：（1）把直線方程y=ax+1代入雙曲線方程得（3-a²）x²-2ax-2=0，利用交于A、B兩點，可知判別式大于0，故可求；
（2）因為∠AOB＞90⁰，所以原點在以AB為直徑的圓外，先求圓的方程，進而可解．

解答：解：（1）把直線方程y=ax+1代入雙曲線方程得（3-a²）x²-2ax-2=0
△=24-4a²＞0
∴a∈（-

6，

6

)且a≠±

3

…（4分）
（2）因為∠AOB＞90°，所以原點在以AB為直徑的圓內，AB中點（

a

3-a2

，

3

3-a2

)
圓方程為(x-

a

3-a2

)2+(y-

3

3-a2

)2=(1+a2)

24-4a2

4(3-a2)2

…（7分）
∴(

a

3-a2

)2+(

3

3-a2

)2＞

24-4a2

4(3-a2)2

（1+a²）
即  4（a²+9）＞（24-4a²）（1+a²）            …（10分）
得  1＜a²＜3
所以a∈(-

3

，-1)∪(1，

3

)…（12分）

點評：本題以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線的位置關系，關鍵是聯(lián)立方程，利用方程思想求解．