Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)在線段上， ， ，沿直線將翻折成，使點(diǎn)在平面上的射影落在直線上.

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)射影定義得,再根據(jù)線面垂直得,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論（2）連接交于點(diǎn).則根據(jù)二面角定義得是二面角的平面角的平面角.再通過(guò)解三角形得二面角的平面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：在線段上取點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn).

正方形中， ， 翻折后， ， ，

又 ， 平面，

又 平面， 平面平面

又平面平面 ，

點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，

又點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，

點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)，

平面即平面， 直線平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是二面角的平面角的平面角.

，在矩形中，可求得， .

在中， ，

二面角的平面角的余弦值為.

點(diǎn)睛:立體幾何中折疊問(wèn)題,要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件.線面角的尋找，主要找射影，即需從線面垂直出發(fā)確定射影，進(jìn)而確定線面角.