Question

如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點(diǎn)，以AE為折痕，把△DAE折起為△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如圖2）．
（1）求證：AD′⊥BE
（2）求四棱錐D′-ABCE的體積；
（3）在棱D′E上是否存在一點(diǎn)P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出點(diǎn)P的位置，不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BE⊥AE，然后BE⊥平面D'AE，通過直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AD'⊥BE．
（2）取AE中點(diǎn)F，連接D'F，證明D'F⊥平面ABCE，得到棱錐的高，然后求解棱錐的體積．
（3）連接AC交BE于Q，連接PQ，證明D'B∥PQ利用比例關(guān)系，即可在棱D'E上存在一點(diǎn)P，且EP=

1

3

ED′，使得D'B∥平面PAC．

解答： 解：（1）證明：在長(zhǎng)方形ABCD中，△DAE和△CBE為等腰直角三角形，
∴∠DEA=∠CEB=45°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AE…（2分）
∵平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D'AE，AD'?平面D'AE
∴AD'⊥BE…（4分）
（2）取AE中點(diǎn)F，連接D'F，則D'F⊥AE
∵平面D'AE⊥平面ABCE，
且平面D'AE∩平面ABCE=AE，D'F⊥平面ABCE，
∴VD′-ABCE=

1

3

SABCE•D′F=

1

3

•

1

2

•(1+2)•1•

2

2

=

2

4

…（8分）
（3）解：如圖，連接AC交BE于Q，連接PQ，
若D'B∥平面PAC
∵D'B?平面D'BE
平面D'BE∩平面PAC=PQ
∴D'B∥PQ…（10分）
∴在△EBD'中，

EP

PD′

=

EQ

QB

，∵在梯形ABCE中

EQ

QB

=

EC

AB

=

1

2

∴

EP

PD′

=

EQ

QB

=

1

2

，即EP=

1

3

ED′
∴在棱D'E上存在一點(diǎn)P，且EP=

1

3

ED′，使得D'B∥平面PAC…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．