Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，且EF⊥PB．
（1）求證：PB⊥平面DEF；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

分析：方法一（幾何法）（1）由已知PD⊥底面ABCD，結(jié)合PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，可得PD⊥BC，DE⊥PC，由線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PBC，則DE⊥PB，結(jié)合已知中EF⊥PB和線面垂直的判定定理，我們可證得PB⊥平面DEF；
（2）由（1）中結(jié)論P(yáng)B⊥平面DEF，可得PB⊥FD，結(jié)合EF⊥PB，及二面角的定義，可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解Rt△EFD即可得到二面角C-PB-D的大小．
方法二（向量法）（1）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，分別求出PB，DE的方向向量，易根據(jù)其數(shù)量積為0得到PB⊥DE結(jié)合EF⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面DEF；
（2）分別求出平面PBC及平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角C-PB-D的大�。�

解答：方法一：（幾何法）
證明：（1）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC．又∵DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，∴PB⊥平面DEF．…（6分）
（2）解：由（1）得PB⊥平面DEF，∴PB⊥FD．
又EF⊥PB，∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角…（8分）
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

．
∵PD⊥DB，∴PB=

PD2+DB2

=

4+8

=2

3

，
∴DF=

PD•DB

PB

=

2×2 2

2 3

=

2 6

3

．
由（1）知DE⊥平面PBC，
∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

2

×

3

2 6

=

3

2

，∴∠EFD=60°
故所求二面角C-PB-D的大小為60°…（12分）
方法二：（向量法）
證明：（1）如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D（0，0，0）A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）…（1分）
∵

PB

=(2，2，-1)，

DE

=(0，1，1)（2）
∵

PB

•

DE

=0，∴

PB

⊥

DE

，
即PB⊥DE．
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF．…（6分）
解：（2）設(shè)平面PBC的法向量為n₁=（x，y，z），
則

n1• PB =0 n1• BC =0

即

2x+2y-2z=0 -2x=0.

令y=1，得n₁=（0，1，1）．
同理可得平面PBD的法向量為n₂=（1，-1，0），
∴cos(n1，n2)=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

1

2

．
∵二面角C-PB-D小于90°，
∴二面角C-PB-D的大小為60°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直之間的轉(zhuǎn)化及二面角的定義，方法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間線線垂直及二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．