Question

【題目】已知函數(shù) 且.

(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

(2)當(dāng)時，求證：；

(3)討論函數(shù)的極值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（I）求得切點坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為零，由此證得不等式成立.（III）對求導(dǎo)后，對分成兩類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論得出函數(shù)的極值.

解：（Ⅰ）當(dāng)時，．所以．

因為，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）當(dāng)時，．

函數(shù)的定義域為．

不等式成立 成立 成立.

設(shè) ，

則．

當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

	＋		－
	↗	極大值	↘

所以．

因為，所以，

所以．

（Ⅲ）求導(dǎo)得. 令，因為可得．

當(dāng)時，的定義域為.當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

	＋		－
	↗	極大值	↘

此時有極大值，無極小值．

當(dāng)時，的定義域為，當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

	－		＋
	↘	極小值	↗

此時有極小值，無極大值．