Question

已知正四面體ABCD的棱長為a，點(diǎn)O是△BCD的中心，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A到面BCD的距離；
（2）求AB與面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)棱長為a的正四面體高為

6

3

a，可求出點(diǎn)A到面BCD的距離，即正四面體的高；
（2）由（1）中AO的長，及AB的長，解直角三角形OAB可得AB與面BCD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）∵棱長為a的正四面體中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等邊三角形BCD中，CD邊的上高BM=

3

2

a
過A作底面BCD上的高，則垂足O為底面BCD的重心
則BO=

2

3

BM=

3

3

a
則AO=

AB2-BO2

=

6

3

a，
∴點(diǎn)A到面BCD的距離OA=

6

3

a
（說明：直接由公式計(jì)算得出正確結(jié)果不扣分）…6分
（2）由（1）可得∠ABO即為AB與面BCD所成角
在Rt△OAB中，OA=

6

3

a，AB=a
∴sin∠ABO=

OA

AB

=

6

3

即AB與面BCD所成角的正弦值為

6

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，棱錐高的公式，解答（1）的關(guān)鍵是熟練掌握與正四面體相關(guān)的公式，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出線面夾角的平面角