Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx．
（1）當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），求出g（x）的最值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，
故f（x）的最大值為f（1）=-$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx，得lnx+x=mx，
又x＞0，于是m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$區(qū)間[$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），于是g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
于是g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，+∞）上是減函數(shù)，
g（$\frac{1}{e}$）=1-e，g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
故1-e≤m＜1+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性、最值問題，屬于中檔題．