Question

3．以下說(shuō)法正確的有②④
①若p：?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$-x₀＞0，則￢p：?x∈R，x²-x＞0
②已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同是平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
③“m＞2”是“?k∈R，y=kx+2k與x²+y²+mx=0都有公共點(diǎn)”的充分不必要條件
④在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，p是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，若$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PAC}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}$（S_△PAB，S_△PBC，S_△PAC表示相應(yīng)三角形的面積），則PA+PB+PC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 寫(xiě)出原命題的否定，可判斷①；判斷兩個(gè)平面的位置關(guān)系，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；求出PA+PB+PC的值，可判斷④．

解答 解：若p：?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$-x₀＞0，則￢p：?x∈R，x²-x≤0，故①錯(cuò)誤；
若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又由n∥β，則α⊥β，故②正確；
y=kx+2k恒過(guò)（-2，0）點(diǎn)，
若“?k∈R，y=kx+2k與x²+y²+mx=0都有公共點(diǎn)”
則（-2，0）在圓x²+y²+mx=0內(nèi)部，
即4-2m＜0，解得：m＞2，
故“m＞2”是“?k∈R，y=kx+2k與x²+y²+mx=0都有公共點(diǎn)”的充要條件，故③錯(cuò)誤；

由$\frac{{S}_{△PAB}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{{S}_{△PBC}}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}$=$\frac{{S}_{△PAC}}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}$，
可得tan∠APB=tan∠BPC=tan∠APC，
由于0＜∠APB，∠BPC，∠APC＜π，且∠APB+∠BPC+∠APC=2π，
則∠APB=∠BPC=∠APC=$\frac{2π}{3}$，
由于AB=AC=3，BC=2，
由△APB≌△APC，
則PB=PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△APB中，AB²=AP²+BP²-2AP•BPcos$\frac{2π}{3}$，
即有9=AP²+$\frac{4}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AP，
解得AP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{2}$，
則有PA+PB+PC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$，故④正確；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了特稱命題的否定，直線與圓的位置關(guān)系，空間直線與平面的位置關(guān)系，平面向量在幾何中的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．