Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，滿足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知結(jié)合二倍角公式可得4cos²B-8cosB+3=0，解方程可求cosB，結(jié)合0＜B＜π，可求B
（2）法一：把a+c=2b，代入cosB==可得a=c，結(jié)合（1）中的B可求
    法二：由正弦定理及a+c=2b，可得sinA+sinC=2sinB=2sin，即sinA+sin（-A）=，可求A，C，從而可求面積
解答：解：（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos²B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos²B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=或cosB=（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=．…（6分）
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB===
化簡得a²+c²-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是邊長為2的等邊三角形．
∴△ABC的面積等于…（12分）
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin=．
∴sinA+sin（-A）=，
∴sinA+sincosA-cossinA=．
化簡得sinA+cosA=，∴sin（A+）=1．
∵0＜A＜π，∴A+=．
∴A=，C=，又∵a=2
∴△ABC是邊長為2的等邊三角形．
∴△ABC的面積等于．…（12分）
點評：本題主要考查了二倍角公式、及由三角函數(shù)值求解角，解三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等公式的綜合應用．