【題目】設(shè)圓的圓心為
,直線(xiàn)
過(guò)點(diǎn)
且不與
軸、
軸垂直,且與圓
于
,
兩點(diǎn),過(guò)
作
的平行線(xiàn)交直線(xiàn)
于點(diǎn)
.
(1)證明為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)
的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)
,直線(xiàn)
交
于
兩點(diǎn),過(guò)
且與
垂直的直線(xiàn)與圓
交于
兩點(diǎn),求
與
的面積之和的取值范圍.
【答案】(1).(2)
【解析】試題分析:(1)先證明,可得,
,進(jìn)而得
,由雙曲線(xiàn)定義知軌跡是雙曲線(xiàn),從而可得方程;(2)聯(lián)立直線(xiàn)
與雙曲線(xiàn)
的方程
,消去
得
,根據(jù)弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及三角形面積公式可得三角形面積之和成關(guān)于
的函數(shù),利用單調(diào)心求解即可.
試題解析:(1)
圓,圓心
,半徑
,如圖所示.
因?yàn)?/span>,所以
.又因?yàn)?/span>
,所以
,
所以,
又因?yàn)?/span>,所以
,
故,可得
,
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義,可知點(diǎn)的軌跡是以
為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)(頂點(diǎn)除外),
易得點(diǎn)的軌跡方程為
.
(2).
依題意可設(shè),
由于,設(shè)
.
圓心到直線(xiàn)
的距離
,
所以,
又因?yàn)?/span>,解得
.
聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)
的方程
,消去
得
,
則,
所以,
記的面積分別為
,
則,
又因?yàn)?/span>,所以
,
所以的取值范圍為
.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值,屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用單調(diào)性法法求三角形三角形面積之和的最值的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見(jiàn)》,某校計(jì)劃開(kāi)設(shè)八門(mén)研學(xué)旅行課程,并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與,每個(gè)學(xué)生必須從八門(mén)課程中選出唯一一門(mén)課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.
上圖中,已知課程為人文類(lèi)課程,課程
為自然科學(xué)類(lèi)課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合上面圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取
的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“組M”).
(Ⅰ)在“組M”中,選擇人文類(lèi)課程和自然科學(xué)類(lèi)課程的人數(shù)各有多少?
(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng),從“組M”所有選擇自然科學(xué)類(lèi)課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往,其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng),費(fèi)用為每人1500元,選擇課程G的同學(xué)參加,費(fèi)用為每人2000元.
(ⅰ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)中選擇課程
的人數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列;
(ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營(yíng)的費(fèi)用總和,求隨機(jī)變量
的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α<
)的最小正周期是π,且當(dāng)x=
時(shí),f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的圖象(要列表);
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且y=g(x)是偶函數(shù),求m的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,在等腰梯形中,
.把
沿
折起,使得
,得到四棱錐
.如圖2所示.
(1)求證:面面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班級(jí)有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢(xún)問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī),五名男生的成績(jī)分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績(jī)分別為88,93,93,88,93,下列說(shuō)法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差
D.該班男生成績(jī)的平均數(shù)大于該班女生成績(jī)的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
,其中
為常數(shù),
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在區(qū)間(﹣∞,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.(﹣2, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ ,
)
D.(﹣∞,6]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),試求
的單調(diào)增區(qū)間;
(2)試求在
上的最大值;
(3)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,幾何體由一個(gè)正三棱柱截去一個(gè)三棱錐而得,
,
,
,
平面
,
為
的中點(diǎn),
為棱
上一點(diǎn),且
平面
.
(1)若在棱
上,且
,證明:
平面
;
(2)過(guò)作平面
的垂線(xiàn),垂足為
,確定
的位置(說(shuō)明作法及理由),并求線(xiàn)段
的長(zhǎng).
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