Question

【題目】設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且不與軸、軸垂直，且與圓于， 兩點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn).

（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求與的面積之和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】試題分析：（1）先證明，可得， ，進(jìn)而得，由雙曲線定義知軌跡是雙曲線，從而可得方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，根據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式可得三角形面積之和成關(guān)于 的函數(shù)，利用單調(diào)心求解即可.

試題解析：（1）

圓，圓心，半徑，如圖所示.

因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

故，可得，

根據(jù)雙曲線的定義，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線（頂點(diǎn)除外），

易得點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）.

依題意可設(shè)，

由于，設(shè).

圓心到直線的距離，

所以，

又因?yàn)?/span>，解得.

聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去得，

則，

所以，

記的面積分別為，

則，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以的取值范圍為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用單調(diào)性法法求三角形三角形面積之和的最值的.