Question

在△ABC中，已知a²+b²=c²+ab．
（1）求角C的大小；
（2）又若sinAsinB=

3

4

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：余弦定理,三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：（1）由題設(shè)利用余弦定理求得cos C=

a2+b2-c2

2ab

的值，再由C∈（0，π），可得C的值．
（2）根據(jù)C=

π

3

，可得A+B=

2

3

π，求得cos（A+B）=-

1

2

，再由sin Asin B=

3

4

，求得cos Acos B=

3

4

-

1

2

=

1

4

，從而求得cos（A-B）=1．可得A=B，從而得到△ABC的形狀．

解答： 解：（1）由題設(shè)得a²+b²-c²=ab，∴cos C=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，又C∈（0，π），∴C=

π

3

．
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=

2

3

π，∴cos（A+B）=-

1

2

，即cos Acos B-sin Asin B=-

1

2

．
又sin Asin B=

3

4

，∴cos Acos B=

3

4

-

1

2

=

1

4

，
從而cos（A-B）=cos Acos B+sin Asin B=1．
由A，B∈（0，π），∴A-B=0，即A=B，從而△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，兩角和差的余弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．