Question

某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投人生產，到當年年底資金增長了50%．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a_n萬元．
（1）用d表示a₁，a₂，并寫出a_n+1與a_n的關系式；
（2）若公司希望經過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投人生產，到當年年底資金增長了50%．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，可得a₁，a₂，并寫出a_n+1與a_n的關系式；
（2）利用（1）的結論，結合等比數(shù)列的求和公式，即可得到結論．

解答： 解：（1）由題意得：a₁=2000（1+50%）-d=3000-d，
a₂=a₁（1+50%）-d=

3

2

a₁-d=4500-

5

2

d，
…
a_n+1=a_n（1+50%）-d=

3

2

a_n-d．
（2）由（1）得a_n=

3

2

a_n-1-d=

3

2

（

3

2

a_n-2-d）-d
=…
=（

3

2

）n-1a₁-d[1+

3

2

+（

3

2

）2+…+（

3

2

）n-2]
整理得：a_n=（

3

2

）n-1（3000-d）-2d[（

3

2

）n-1-1]
=（

3

2

）n-1（3000-3d）+2d．
由題意，a_m=4000，即（

3

2

）m-1（3000-3d）+2d=4000．
解得d=

1000(3m-2m+1)

3m-2m

，
故該企業(yè)每年上繳資金d的值為

1000(3m-2m+1)

3m-2m

時，經過m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000萬元．

點評：本題考查數(shù)列的應用，著重考查歸納思想的運用，考查等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．