已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).
(Ⅰ)若橢圓的離心率e=
3
2
,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(b,0),且
OA
OB
=
32
5
cot∠AOB
,求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F,設(shè)向量
OP
=λ(
OA
+
OB
)
(λ>0),若點(diǎn)P在橢圓C上,求λ的取值范圍.
分析:(1)利用離心率求得a和b的關(guān)系,將直線(xiàn)l的方程代入到橢圓方程則可表示出A,B的坐標(biāo),利用∠AOB=
π
2
+∠AOx
推斷出cot∠AOB=-tan∠AOx=-
3
8
,利用題設(shè)等式求得b,進(jìn)而求得a,則橢圓的方程可得.
(2)將y=x-c代入到橢圓方程,進(jìn)而表示出
OA
+
OB
,進(jìn)而根據(jù)
OP
=λ(
OA
+
OB
)
表示出
OP
代入橢圓的方程求得λ的表達(dá)式,設(shè)橢圓的離心率為e,進(jìn)而根據(jù)0<e<1求得λ的范圍.
解答:解:(1)∵e=
3
2
,
a=2b,c=
3
b
,將直線(xiàn)l的方程y=x-b代入到橢圓方程x2+4y2=4b2中,
B(0,-b),A(
8b
5
3b
5
)
.又∠AOB=
π
2
+∠AOx
,
∴cot∠AOB=-tan∠AOx=-
3
8
,從而由
OA
OB
=
32
5
cot∠AOB
,
-
3b2
5
=-
3
8
×
32
5

∴b2=4,a2=16即橢圓的方程為:
x2
16
+
y2
4
=1

(2)將y=x-c代入到橢圓方程,
得(b2+a2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0
OA
+
OB
=(
2a2c
a2+b2
,
-2b2c
a2+b2
)
,
故∴
OP
=(
a2c
a2+b2
-2λb2c
a2+b2
)
,
又點(diǎn)P在橢圓上,從而b2(
2a2c
a2+b2
)2+a2(
-2b2c
a2+b2
)2-a2b2=0

化簡(jiǎn)得λ2=
a2+b2
4c2
,設(shè)橢圓的離心率為e,
則0<e<1,且λ2=
1
2e2
-
1
4
∈(
1
4
,+∞)
,故λ的取值范圍為(
1
2
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題.考查了學(xué)生的基本的分析問(wèn)題的能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點(diǎn)A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),
左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),且過(guò)點(diǎn)P 
3
2
,  
5
2
3
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點(diǎn),以AF為直徑的圓記為圓M,試問(wèn):過(guò)P點(diǎn)能否引圓M的切線(xiàn),若能,求出這條切線(xiàn)與x軸及圓M的弦PF所對(duì)的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線(xiàn),則直線(xiàn)AB的方程是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線(xiàn),則直線(xiàn)AB的方程是( 。
A.2x-y-2=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y+2=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:黑龍江省期末題 題型:解答題

已知橢圓C的方程是(a>b>0),點(diǎn)A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0),且過(guò)點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點(diǎn),以AF為直徑的圓記為圓M,試問(wèn):過(guò)P點(diǎn)能否引圓M的切線(xiàn),若能,求出這條切線(xiàn)與x軸及圓M的弦PF所對(duì)的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年湖北省黃岡市浠水一中高三(下)高考交流數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的方程是(a>b>0),點(diǎn)A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),
左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),且過(guò)點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點(diǎn),以AF為直徑的圓記為圓M,試問(wèn):過(guò)P點(diǎn)能否引圓M的切線(xiàn),若能,求出這條切線(xiàn)與x軸及圓M的弦PF所對(duì)的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案