精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點,
左焦點坐標為(-4,0),且過點P 
3
2
,  
5
2
3
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點,以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.
分析:(Ⅰ)由題設(shè)知a2=b2+16,即橢圓的方程為
x2
b2+16
+
y2
b2
=1
,由點
3
2
  
5
2
3
)
在橢圓上,知
9
4(b2+16)
+
75
4b2
=1
,由此能求出橢圓C的標準方程.
(Ⅱ)由A(-6,0),F(xiàn)(4,0),P 
3
2
  
5
2
3
)
,知
AP
= 
15
2
  
5
2
3
)
,
FP
= ( -
5
2
  
5
2
3
)
,所以
AP
.
FP
=0
,以AF為直徑的圓M必過點P,因此,過P點能引出該圓M的切線,設(shè)切線為PQ,交x軸于Q點,又AF的中點為M(-1,0),則顯然PQ⊥PM,由此能求出所求的圖形面積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)因為橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0),∴a2=b2+16,
即橢圓的方程為
x2
b2+16
+
y2
b2
=1
,∵點
3
2
,  
5
2
3
)
在橢圓上,∴
9
4(b2+16)
+
75
4b2
=1
,
解得b2=20或b2=-15(舍),由此得a2=36,
所以,所求橢圓C的標準方程為
x2
36
+
y2
20
=1
.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-6,0),F(xiàn)(4,0),又P 
3
2
,  
5
2
3
)
,則得
AP
= 
15
2
  
5
2
3
)
,
FP
= ( -
5
2
,  
5
2
3
)

所以
AP
.
FP
=0
,即∠APF=90°,△APF是Rt△,所以,以AF為直徑的圓M必過點P,因此,過P點能引出該圓M的切線,設(shè)切線為PQ,交x軸于Q點,又AF的中點為M(-1,0),則顯然PQ⊥PM,
kPM=
5
2
3
-0
3
2
-(-1)
=
3
,所以PQ的斜率為-
3
3
,
因此,過P點引圓M的切線方程為:y-
5
3
2
=-
3
3
(x-
3
2
)
,即x+
3
 
y-9=0

令y=0,則x=9,∴Q(9,0),又M(-1,0),
所以S扇形MPF=
1
2
×5×5×
π
3
=
25π
6
因此,所求的圖形面積是S=S△PQM-S扇形MPF=
25
3
2
-
25π
6
=
75
3
-25π
6
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。
A.2x-y-2=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y+2=0

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科目:高中數(shù)學 來源:黑龍江省期末題 題型:解答題

已知橢圓C的方程是(a>b>0),點A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點,左焦點坐標為(﹣4,0),且過點
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點,以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北省黃岡市浠水一中高三(下)高考交流數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的方程是(a>b>0),點A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點,
左焦點坐標為(-4,0),且過點
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點,以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.

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