Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P（x，y）（x≠0）的切線方程為y-y=2ax（x-x）（a為常數）．
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當λ=1，k₁＜0時，若P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出拋物線的標準方程，利用過點P的切線方程求得p，則橢圓的方程可得．
（II）把直線PA的方程與拋物線的方程聯立消去y，分別表示出x_A和x_B，根據k₂+λk₁=0和，求得x_M=-x．進而推斷出線段PM的中點在y軸上．
（III）利用λ的值和P的坐標求得a，進而表示出A，B的坐標，求得和的表達式，根據∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線，判斷出．求得關于k₁的不等式，求得k₁的范圍，進而求得點A的縱坐標范圍，最后∠PAB為鈍角時點A的坐標的取值范圍．
解答：解：（I）由題意可設拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），
由過點p（x，y）（x≠0）的切線方程為y-y=2ax（x-x），得
∴，
．
∴拋物線的方程為y=ax²（a＜0）．
（II）直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），'
∴ax²-k₁x+k₁x-y=0，∴．
同理，可得．
∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，．
又，
∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），．
∴線段PM的中點在y軸上．
（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．
∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．
∴，．
∵∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線，
∴．
即（2+k₁）•2k₁+（k₁²+2k₁）•4k₁＜0．
∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．
∵k₁＜0，
∴2k₁²+5k₁+2＞0．
∴．
又∵點A的縱坐標y_A=-（k₁+1）²，
∴當k₁＜-2時，y_A＜-1；
當＜k₁＜0時，-1＜y_A＜-．
∴∠PAB為鈍角時點A的坐標的取值范圍為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解這種類型的題要充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．