Question

（2013•東城區(qū)二模）如圖，△BCD是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，將△BCD沿BD折疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求證：AD⊥AC′；
（2）若M，N分別是BD，C′B的中點(diǎn)，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的條件，∠BAD=90°，AD⊥C′B，利用線(xiàn)面垂直的判定得到線(xiàn)面垂直，從而得到線(xiàn)線(xiàn)垂直；
（2）由（1）得到AB，AD，AC^′兩兩互相垂直，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系后，解出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面AMN和ABM的法向量，利用平面法向量求二面角N-AM-B的余弦值．

解答：（1）證明：因?yàn)椤螧AD=90°，所以AD⊥AB，
又因?yàn)镃^′B⊥AD，且AB∩C^′B=B，
所以AD⊥平面C^′AB，
因?yàn)锳C^′?平面C^′AB，
所以AD⊥AC^′．
（2）因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，
AB=AD，∠BAD=90°，
不防設(shè)AB=1，則BC=CD=BD=

2

，
又因?yàn)镸，N分別為BD，C^′B的中點(diǎn)，
由此以A為原點(diǎn)，AB，AD，AC^′所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C^′（0，0，1），M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)．
所以

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AN

=(

1

2

，0，

1

2

)．
設(shè)平面AMN的法向量為

m

=(x，y，z)．
則

AM • m =0 AN • m =0

，
即

1 2 x+ 1 2 y=0 1 2 x+ 1 2 z=0

，
令x=1，則y=z=-1．
所以

m

=(1，-1，-1)．
又平面ABM的一個(gè)法向量為

n

=(0，0，1)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-1

3

=-

3

3

．
所以二面角N-AM-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定及性質(zhì)，考查了利用空間向量求解二面角的問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，即符合右手系，同時(shí)注意兩平面法向量所成的角與二面角的關(guān)系，是中檔題．