Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形，并且PD=，PA=PC=．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與AC所成的角；
（3）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

解：（1）PC=，PD=DC=a，∴△PDC是Rt△，且PD⊥DC，
同理PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）連BD，因ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD．
BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂線定理得PB⊥AC，∴PB與AC成90°角．
（3）設AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，連OE，
∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，則OE是AE在平面PDB上的射影．
由三垂線定理逆定理知OE⊥PB，∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
又AB=a，PA=，PB=，∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，AE•PB=PA•AB．∴AE=，又AO=
∴，∠AEO=60°，二面角A-PB-D的大小為60°．
分析：（1）通過計算證明AD⊥PD．PD⊥CD．然后利用線面垂直的判定可證證明PD⊥平面ABCD
（2）連BD，因ABCD是正方形，根據BD⊥AC，PD⊥平面ABCD．由三垂線定理得PB⊥AC，從而可求PB與AC所成的角．
（3）取AP中點E，過E作EF⊥PB，垂足為F，∠DFE為所求，通過解三角形求出∠DFE=60°．
點評：本題以四棱錐為載體，考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．