【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知、（）是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.

①求四邊形APBQ的面積的最大值；

②求證：.

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）設橢圓C的方程，再根據(jù)拋物線的焦點坐標，和橢圓離心率，則可求出橢圓C的方程的解析式.

（2）①先求出m的值，設，和直線AB的方程，再聯(lián)立直線AB的方程和由（1）求得的橢圓方程，得到，可求出t的范圍，再根據(jù)韋達定理可得，則四邊形APBQ的面積的最大值可求，②由①得P點坐標，再根據(jù)斜率公式寫出,,再將化簡即可得則可證.

（1）由題意設橢圓的方程為，

因為拋物線的焦點坐標為，則，

由，

∴橢圓C的方程為.

（2）①當時，解得，

，

設，直線AB的方程為，

，

，

由，解得，

由韋達定理得.

，

由此可得：四邊形APBQ的面積，

∴當時，.

②，

，

，

即 ，

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某縣畜牧技術員張三和李四9年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行跟蹤調(diào)查，張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量單位：萬只與相應年份序號的數(shù)據(jù)表和散點圖如圖所示，根據(jù)散點圖，發(fā)現(xiàn)y與x有較強的線性相關關系，李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)單位：個關于x的回歸方程．

年份序號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

年養(yǎng)殖山羊萬只

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量，求y關于x的線性回歸方程參考統(tǒng)計量：，；

試估計：該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只

到第幾年，該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計，其高度均在區(qū)間[19，31]內(nèi)，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為27 cm及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗．

（1）求圖中a的值；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于A，B兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

A試驗區(qū)

B試驗區(qū)

合計

優(yōu)質(zhì)樹苗

20

非優(yōu)質(zhì)樹苗

60

合計

將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)樹苗與A，B兩個試驗區(qū)有關系，并說明理由；

（3）用樣本估計總體，若從這批樹苗中隨機抽取4棵，其中優(yōu)質(zhì)樹苗的棵數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望EX．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，四邊形是直角梯形，，，.

（Ⅰ）證明：平面.

（Ⅱ）若平面平面，為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以下四個關于圓錐曲線的命題：

①設A，B是兩個定點，為非零常數(shù)，若，則P的軌跡是雙曲線；

②過定圓C上一定點A作圓的弦AB，O為原點，若向量．則動點P的軌跡是橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線與橢圓有相同的焦點．

其中正確命題的序號為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

某位同學進行寒假社會實踐活動，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關系進行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫（°C）與該奶茶店的這種飲料銷量（杯），得到如下數(shù)據(jù)：

日 期

1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均氣溫（°C）

9

10

12

11

8

銷量（杯）

23

25

30

26

21

（1）若從這五組數(shù)據(jù)中隨機抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程．

（參考公式：．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2018年3月到2019年3月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖（注：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比），根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格同比均上漲

B.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格環(huán)比有漲有跌

C.2019年3月全國居民消費價格同比漲幅最大

D.2019年3月全國居民消費價格環(huán)比變化最快

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為.設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，.

（1）設動點滿足：，求點的軌跡；

（2）設，，求點的坐標；

（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個結(jié)論：

①命題“，”的否定是“，”；

②命題“若，則且”的否定是“若，則”；

③命題“若，則或”的否命題是“若，則或”；

④若“是假命題，是真命題”，則命題，一真一假.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

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