Question

11．如圖，已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AE=$\frac{1}{2}$EC，AD，BE交于點(diǎn)F，設(shè)$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EB}$；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的線性運(yùn)算，即可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EB}$；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$，利用$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{EB}$共線，求實(shí)數(shù)t的值．

解答 解：（1）由題意，D為BC的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$=-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$；
（2）∵$\overrightarrow{AF}$=t$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$=-$\overrightarrow{a}$+（2-t）$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{EB}$=-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{EB}$共線，
∴$\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{2-t}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量共線條件的運(yùn)用，屬于中檔題．