Question

直線y=kx+b與曲線x²+4y²-4=0交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求曲線的離心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值．

Answer 1

分析：（1）將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得幾何量，即可求得離心率；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，可得△AOB的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）曲線的方程可化為：

x2

4

+y2=1，-------------------（1分）
∴此曲線為橢圓，a=2，c=

3

-------------------（4分）
∴此橢圓的離心率e=

c

a

3

2

------------------（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，b），
由

x2

4

+y2=1及y=b，解得x_1，2=±2

1-b2

，-----------------------------（8分）
所以S=

1

2

b|x₁-x₂|=2b

1-b2

≤b²+1-b²=1-----------------------------（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)b=

2

2

時(shí)，S取到最大值1．-----------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．