Question

如圖，已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心，求證：PH⊥平面ABC.

Answer 1

【探究】 根據(jù)判定定理，要證線(xiàn)面垂直，需證直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，根據(jù)H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC兩兩垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH內(nèi)的相交直線(xiàn)PA和AH，結(jié)論得證.

證明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.                    ①

∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC，                            ②

由①②知，BC⊥PH，

同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.

【規(guī)律總結(jié)】 根據(jù)所求證的結(jié)論，尋求所需的已知條件，看題目是否已經(jīng)直接給出，或者從題目所給條件，經(jīng)過(guò)推理能夠得出，這是分析問(wèn)題的重要方法，稱(chēng)為執(zhí)果索因；也可從條件出發(fā)，將這一條件可能得出的結(jié)論一一列出，從中選出我們證題所需要的結(jié)論，這種分析問(wèn)題的方法稱(chēng)為由因?qū)Ч�，發(fā)散性較強(qiáng).