已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
,
,點(diǎn)
在橢圓
上,過(guò)點(diǎn)
的直線
與拋物線
交于
兩點(diǎn),拋物線
在點(diǎn)
處的切線分別為
,且
與
交于點(diǎn)
.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)
? 若存在,指出這樣的點(diǎn)
有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)
的坐標(biāo)); 若不存在,說(shuō)明理由.
(1).
(2)滿足條件的點(diǎn)
有兩個(gè).
【解析】
(1)試題分析:解法1:設(shè)橢圓的方程為
,依題意:
解得: ∴ 橢圓
的方程為
.
解法2:設(shè)橢圓的方程為
,根據(jù)橢圓的定義得
,即
, ∵
, ∴
. ∴ 橢圓
的方程為
.
(2) 解法1:顯然直線的斜率存在,設(shè)直線
的方程為
,
由消去
,得
.
設(shè),則
.
由,即
得
.
∴拋物線在點(diǎn)
處的切線
的方程為
,即
.
∵, ∴
.
同理,得拋物線在點(diǎn)
處的切線
的方程為
.
由解得
∴. ∵
,
∴點(diǎn)在橢圓
上. ∴
.
化簡(jiǎn)得.(*) 由
,
可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).
解法2:設(shè)點(diǎn),
,
,由
,即
得
.
∴拋物線在點(diǎn)
處的切線
的方程為
,
即.∵
, ∴
.
∵點(diǎn)在切線
上, ∴
. ①
同理, . ② 綜合①、②得,點(diǎn)
的坐標(biāo)都滿足方程
.∵經(jīng)過(guò)
的直線是唯一的,∴直線
的方程為
,
∵點(diǎn)在直線
上, ∴
. ∴點(diǎn)
的軌跡方程為
.
若 ,則點(diǎn)
在橢圓
上,又在直線
上,∵直線
經(jīng)過(guò)橢圓
內(nèi)一點(diǎn)
,∴直線
與橢圓
交于兩點(diǎn).
∴滿足條件 的點(diǎn)
有兩個(gè).
解法3:設(shè)點(diǎn),
,則
,
,
∵三點(diǎn)共線,
.
化簡(jiǎn)得:. ① 由
,即
得
.
∴拋物線在點(diǎn)
處的切線
的方程為
,即
. ②
同理,拋物線在點(diǎn)
處的切線
的方程為
. ③
設(shè)點(diǎn),由②③得:
,而
,則
.
代入②得
, 則
,
代入 ① 得
,
即點(diǎn)的軌跡方程為
.若
,則點(diǎn)
在橢圓
上,而點(diǎn)
又在直線
上,∵直線
經(jīng)過(guò)橢圓
內(nèi)一點(diǎn)
,
∴直線與橢圓
交于兩點(diǎn). ∴滿足條件
的點(diǎn)
有兩個(gè).
考點(diǎn):本題考查了圓錐曲線的方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):解答此類問(wèn)題時(shí)注意若直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn),對(duì)待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則,要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類問(wèn)題
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
2
| ||
5 |
| ||
5 |
AC |
AO |
AC |
AO |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
3 |
x2 |
36 |
y2 |
9 |
x2 |
36 |
y2 |
9 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
| ||
2 |
| ||
2 |
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com