已知橢圓的中心在坐標原點,且經(jīng)過點M(1,
2
5
5
)
,N(-2,
5
5
)
,若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合,圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長,已知點A(x,y)為圓C上的一點.
(1)求橢圓的標準方程和圓的標準方程;
(2)求
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標原點)的取值范圍;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
分析:(1)設橢圓的標準方程為mx2+ny2=1,依題意可得
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1
,由此能求出橢圓的標準方程和圓的標準方程.
(2)由圓心C(1,2),知x2+y2=4x-3,所以
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|=2x+1
,而(x-2)2+y2=1,則1≤x≤3,由此能求出
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
的取值范圍.
(3)x2+y2表示圓上點P(x,y)與坐標原點O的距離的平方,因為原點O到圓心C(2,0)的距離為2,圓的半徑為1,由此能求出x2+y2的最大值和最小值.
解答:解:(1)設橢圓的標準方程為mx2+ny2=1,依題意可得
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1
,可得m=
1
5
,n=1

所以,所求橢圓的標準方程為
x2
5
+y2=1
.(3分)
因為圓的圓心C和橢圓的右焦點重合,圓的半徑恰為橢圓的短半軸長,
故圓的標準方程為(x-2)2+y2=1.(5分)
(2)由(1)得圓心C(1,2),所以,而x2+y2-4x+3=0,則x^+y2=4x-3
所以
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|=2x+1
,(7分)
而(x-2)2+y2=1,則(x-2)2≤1,即-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,
因此,從而
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標原點)的取值范圍為[3,7].(10分)
(3)x2+y2表示圓上點P(x,y)與坐標原點O的距離的平方,因為原點O到圓心C(2,0)的距離為2,
圓的半徑為1,所以P(x,y)與坐標原點O的距離的最小值為2-1=1,
與坐標原點O的距離的最大值為2+1=3,故x2+y2的最大值為9,最小值1.(14分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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(1)求橢圓的方程;
(2)當直線l的斜率為1時,求△POQ的面積;
(3)在線段OF上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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2
,4)
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3
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x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1

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已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,離心率為
2
2
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2
2

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