Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為$2\sqrt{3}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于（　�。�

• A． 5π
• B． 20π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 畫(huà)出球的內(nèi)接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半徑，然后可求球的表面積．

解答 解：設(shè)棱柱的高為h，則$\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×h=2\sqrt{3}$，∴h=4．
∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$
如圖，連接上下底面外心，O為PQ的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，
則球的半徑為OA，
由題意，AP=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1，OP=2，
∴OA=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
所以球的表面積為：4πR²=20π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力理解失誤能力，是中檔題．