Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集為C．
（1）求集合C；
（2）記f（x）在C上的值域為A，若g（x）=x³-3tx+

t

2

，x∈[0，1]的值域為B，且A⊆B，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（1）化簡，討論x的符號，解二次不等式，求并集即可；
（2）求出二次函數(shù)在C上的值域，求g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論t的范圍，①t≤0，②t≥1，③0＜t＜1，分別求出值域，再由集合的包含關(guān)系，求出t的范圍，最后求并即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+x，∴f（-x）+f（x）=2x²，
當(dāng)x≥0時，2x²≤2x，則0≤x≤1；當(dāng)x＜0時，2x²≤-2x，則-1≤x＜0
∴集合C=[-1，1]；
（3）f（x）在C上的最小值為-

1

4

，最大值為2，則A=[-

1

4

，2]，
 g'（x）=3（x²-t），
①當(dāng)t≤0時，函數(shù)g（x）=x³-3tx+

t

2

在x∈[0，1]單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）的值域B=[

t

2

，1-

5

2

t]，∵A⊆B，∴

t 2 ≤- 1 4 2≤1- 5t 2

，
解得

t≤- 1 2 t≤- 2 5

，即t≤-

2

5

．
②若t≥1，g'（x）=3（x²-t）∴g（x₁）-g（x₂）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減，
則B=[1-

5t

2

，

t

2

]，∴

1- 5t 2 ≤- 1 4 t 2 ≥2

，又t≥1，∴t≥4．
③若0＜t＜1，此函數(shù)g（x）在[

t

，1]單調(diào)遞增；在[0，

t

]單調(diào)遞減．g（x）在x=

t

達(dá)到最小值．
要使A⊆B，則

g(0)≥2或g(1)≥2 g( t )≤- 1 4

，則

t≥4或t≤- 2 5 8( t )3-2t-1≥0

，
∵0＜t＜1，∴使得A⊆B的t無解．
綜上所述：t的取值范圍是：（-∞，-

2

5

]∪[4，+∞）．

點評：本題考查二次不等式的解法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的值域，同時考查集合的包含關(guān)系，屬于中檔題．