Question

如圖所示，⊥平面，△為等邊三角形，，⊥，

為中點(diǎn)．

（I）證明：∥平面；

（II）若與平面所成角的正切值 為，求二面角--的正切值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?i>M為等邊△ABC的AC邊的中點(diǎn)，所以BM⊥AC．

依題意CD⊥AC，且A、B、C、D四點(diǎn)共面，所以BM∥CD．    …………2分

又因?yàn)?i>BMË平面PCD，CDÌ平面PCD，所以BM∥平面PCD．  …………5分

（Ⅱ）因?yàn)?i>CD⊥AC，CD⊥PA，

所以CD⊥平面PAC，故PD與平面  

PAC所成的角即為∠CPD．

……………5分

         不妨設(shè)PA=AB=1，則PC=．

         由于，

         所以CD=．……………8分

        （方法一）

在等腰Rt△PAC中，過點(diǎn)M作ME⊥PC于點(diǎn)E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于點(diǎn)F．因?yàn)?i>ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．

又EF⊥PD，所以∠EFM即為二面角C-PD-M的平面角． 

         易知PE=3EC，ME=，EF=，

         所以tan∠EFM=， 

即二面角C-PD-M的正切值是．

……………12分

       （方法二）

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A﹣xyz．

則P（0,0,1），

M（），C（1,0,0），D．

則，，．

若設(shè)和分別是平面PCD和平面PMD的法向量，則，可取．

由，可取．  

          所以，