Question

9．已知數(shù)列{x_n}滿足${x}_{1}=\frac{1}{2}$，且${x}_{n+1}=\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}（n∈{N}^{+}）$
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜x_n＜1；
（2）設(shè)${a}_{n}=\frac{1}{{x}_{n}}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明；
（2）設(shè)a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，可得{a_n-1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 證明（1）：①當(dāng)n=1時，x₁=$\frac{1}{2}$∈（0，1），
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即x_k∈（0，1），
則當(dāng)n=k+1時，x_k+1=f（x_k）=$\frac{{x}_{k}}{2-{x}_{k}}$
∵x_k∈（0，1），
∴=$\frac{{x}_{k}}{2-{x}_{k}}$
∈（0，1），
即n=k+1時結(jié)論成立
綜上①②可知0＜x_n＜1；
（2）：由x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}$可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{2}{{x}_{n}}$-1
∵a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=1
∴{a_n-1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2^n-1，
即a_n=2^n-1+1．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，考查數(shù)學(xué)歸納法，證明n=k+1時，是解題的難點(diǎn)．