Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a_n＞0，前n項(xiàng)的和Sn=

1

2

(an+

1

an

)（n∈N^*），
（1）計(jì)算a₁、a₂、a₃；
（2）猜測(cè)a_n的表達(dá)式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件直接求a₁、a₂、a₃；
（2）通過(guò)（1）猜想a_n，
（3）直接用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，ak=

k

-

k-1

成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，可得a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，可得a2=

2

-1（a_n＞0），
當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，可得a3=

3

-

2

（a_n＞0），
（2）由（1）猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N₊）
（3）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，已證．
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，ak=

k

-

k-1

成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，
即ak+1-

1

ak+1

=-(ak+

1

ak

)=-(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=-2

k

，
∴ak+1=

k+1

-

k

．由（1）（2）可知對(duì)n∈N₊，an=

n

-

n-1

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明n=k+1時(shí)等式成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．