Question

已知x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若直線y=n與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（-5-a）lnx++（6-b）x+2（a＞0），G（x）=f（x）+g（x），若G（x）=0有兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，且，試探究G′（x）值的符號(hào)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（1）=0即可求得m值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)極大值、極小值，結(jié)合圖象n大于極小值小于極小值，從而得到n的范圍；
（Ⅲ）化簡(jiǎn)G（x），則G（x₁）=0，G（x₂）=0，兩式相減并變形可得，于是G′（x）可用x₁，x₂表示，構(gòu)造關(guān)于t=的函數(shù)，按0＜x₁＜x₂，0＜x₂＜x₁兩種情況進(jìn)行討論可判斷G′（x）的符號(hào)；
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）x-6+，
所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x＞0），
所以f′（x）=x-6+=，
當(dāng)x∈（1，5）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（5，+∞）或x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）的極大值為f（1）==-，
極小值為f（5）==-+5ln5，
又x→0時(shí)，f（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)f（5）＜n＜f（1）時(shí)，直線y=n與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
∴-+5ln5＜n＜-；
（III）G′（x）的符號(hào)為正．證明如下：
因?yàn)镚（x）=f（x）+g（x）=+（-5-a）lnx++（6-b）x+2=x²+2-alnx-bx有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
所以有，
兩式相減得-b（x₂-x₁）=0，即，
于是-b=
=-=[ln-]=[ln]，
①，令=t，則t＞1，且G′（x）=（lnt-）．
設(shè)u（t）=lnt-（t＞1），
則u′（t）==＞0，
則u（t）=lnt-在（1，+∞）上為增函數(shù)．
而u（1）=0，所以u(píng)（t）＞0，即lnt-＞0．
又因?yàn)閍＞0，x₂-x₁＞0，所以G′（x）＞0．
②當(dāng)0＜x₂＜x₁時(shí)，同理可得：G′（x）＞0．
綜上所述：G′（x）的符號(hào)為正．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．