Question

（2012•順義區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x+

a2

x

，（其中a＞0）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718）都有f（x₁）≤g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切線斜率f′（1），由點(diǎn)斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）寫出h（x）及其定義域，求出h′（x），由題意得h′（1）=0，解出a值再進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≤g（x₂）成立，等價(jià)于對(duì)任意的x∈[1，e]都有f_max（x）≤g_min（x）成立，利用導(dǎo)數(shù)易判斷f（x）在[1，e]上單調(diào)，從而可求得其最大值；求出導(dǎo)數(shù)g′（x）=

(x-a)(x+a)

x2

，分0＜a≤1，1＜a＜e，a≥e三種情況進(jìn)行討論可得g_min（x），然后解不等式f_max（x）≤g_min（x）可求得a的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）f（1）=1-ln1=1，f′（x）=1-

1

x

，則f′（1）=0，即切線斜率為0，
故曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=0•（x-1），即y=1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）+g（x）=x-lnx+x+

a2

x

=2x+

a2

x

-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴h′(x)=2-

a2

x2

-

1

x

=

2x2-x-a2

x2

，
令h′（1）=0，解得a²=1，
又a＞0，∴a=1，
經(jīng)驗(yàn)證a=1符合條件．
（Ⅲ）對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≤g（x₂）成立，等價(jià)于對(duì)任意的x∈[1，e]都有f_max（x）≤g_min（x）成立，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，∴f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f_max（x）=f（e）=e-1．
∵g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，x∈[1，e]，a＞0，
∴（1）若0＜a≤1，g′（x）≥0，g(x)=x+

a2

x

在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴gmin(x)=g(1)=1+a2，
∴1+a²≥e-1，解得

e-2

≤a≤1．
（2）若1＜a＜e，
當(dāng)1≤x＜a時(shí)，則g′(x)=

(x-a)(x+a)

x2

＜0，當(dāng)a≤x≤e時(shí)，則g′(x)=

(x-a)(x+a)

x2

≥0，
∴g（x）在[1，a）上遞減，在[a，e]上遞增，g_min（x）=g（a）=2a≥f_max（x）=e-1，解得a≥

e-1

2

，
又1＜a＜e，∴a∈（1，e）
（3）當(dāng)a≥e時(shí)，g′(x)=

(x-a)(x+a)

x2

≤0，∴g（x）在[1，e]上遞減，
gmin(x)=g(e)=e+

a2

e

≥fmax(x)=e-1，∴a²≥-e恒成立．
綜上所述a∈[

e-2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、閉區(qū)間上函數(shù)的最值及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化．