Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=

1

4

，a₅=

1

32

（1）試求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n=

n

an

（n∈N^*），試求{B_n}的前n項(xiàng)和公式T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得首項(xiàng)和公比，然后代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=

n

an

，然后由錯(cuò)位相減法求求{b_n}的前n項(xiàng)和公式T_n．

解答： 解：（1）在等比數(shù)列{a_n}中，由a₂=

1

4

，a₅=

1

32

，得
q3=

a5

a2

=

1 32

1 4

=

1

8

，
∴q=

1

2

，則a1=

a2

q

=

1

2

．
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）；
（2）∵b_n=

n

an

=n•2ⁿ，（n∈N^*），
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ   ③，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹ ②，
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
整理得：T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．