Question

某政府準備建造一個橢圓游泳池（a＞b），橢圓的一個焦點到橢圓上的點的最大距離是最小距離的4倍．
（1）求此游泳池所在橢圓的離心率；
（2）已知橢圓的焦距為120米，在橢圓的長軸上的M₁、M₂處設(shè)計兩個噴水頭，使分出的水花形成有相等半徑的圓M₁，圓M₂，且圓M₁與圓M₂外切，同時噴出的水不能落到橢圓形游泳池之外，試求兩圓的最大半徑．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的一個焦點到橢圓上的點的最大距離是最小距離的4倍，可以得到a，c的關(guān)系，即可求此游泳池所在橢圓的離心率；
（2）以⊙M₁與⊙M₂的切點為原點，M₁、M₂所在的線為x軸建立平面直角坐標系．依題意可知圓的方程，設(shè)出圓M₂的方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)位置與橢圓相切可知判別式等于0求得r，

解答： 解：（1）最大距離為a+c，最小距離為a-c
∴a+c=4（a-c），
∴3a=5c，
∴e=

3

5

（2）由題知：c=12百米∴a=20百米  b=16百米
∴橢圓方程為

x2

400

+

y2

256

=1
以⊙M₁與⊙M₂切點為原點，以M₁、M₂所在直線為X軸建立平面直角坐標系
設(shè)⊙M₂方程為（x-r）²+y²=r²
聯(lián)立得

(x-r)2+y2=r2 x2 400 + y2 256 =1

，
∴9x²-100xr+6400=0
∵⊙M₂內(nèi)切與橢圓內(nèi) 
∴△=（-100r）²-4×9×6400=0，
∴r=4.8百米
∴點M₁在長軸中點左4.8百米處，點M2在長軸中點右4.8百米處，且⊙M₁、⊙M₂半徑均為4.8百米

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查橢圓的性質(zhì)，考查了學生數(shù)形結(jié)合的思想和解決實際問題的能力，屬于中檔題．