Question

已知關于x的函數(shù)y=cos²x-4αsinx-3α（α∈R）的最大值M（α）
（1）求M（α）
（2）求M（α）的最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡得y=-（sinx+2α）²+4α²-3α+1，通過對α范圍的討論即可求得M（α）；
（2）由M（α）=

α，       α＞ 1 2 4α2-3α+1，- 1 2 ≤α≤ 1 2 -7α，α＜- 1 2

，可求得M（α）的最小值．

解答：解：（1）y=cos²x-4αsinx-3α=（1-sin²x）-4αsinx-3α=-（sinx+2α）²+4α²-3α+1…1分
令sinx=t∈[-1，1]，則y=-（t+2α）²+4α²-3α+1…2分
①若-2α＜-1，即α＞

1

2

，則當t=-1時，M（α）=-（-1+2α）²+4α²-3α+1=α…4分
②若-1≤-2α≤1，即-

1

2

≤α≤

1

2

，則當t=-2α時，M（α）=4α²-3α+1…6分
③若-2α＞1，即α＜-

1

2

，則當t=1時，M（α）=-（1+2α）²+4α²-3α+1=-7α…8分
綜上，M（α）=

α，       α＞ 1 2 4α2-3α+1，- 1 2 ≤α≤ 1 2 -7α，α＜- 1 2

…9分
（2）當α＜-

1

2

時，M（α）=-7α＞

7

2

，
當α＞

1

2

時，M（α）=α＞

1

2

…11分
當-

1

2

≤α≤

1

2

時，M（α）=4α²-3α+1=4(α-

3

8

)2+

7

16

，對稱軸為α=

3

8

∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴當α=

3

8

時，M（α）取到最小值

7

16

…13分
綜上比較得，α=

3

8

時，M（α）取到最小值

7

16

…14分

點評：本題考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，著重考查分段函數(shù)的應用，突出二次函數(shù)的配方法與最值的確定，考查轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于難題．