已知關(guān)于x的函數(shù)y=
(1-t)x-t2
x
（t∈R）的定義域為D，存在區(qū)間[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．當t變化時，b-a的最大值=
2
3
3
2
3
3
．
分析：由函數(shù)的單調(diào)性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t-1）x+t2=0的兩個同號的實數(shù)根．
由判別式大于0，容易求得t∈（-1，
1
3
）．由韋達定理可得b-a=
(t-1)2-4t2
=
-3t2-2t+1
，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得b-a的最大值．
解答：解：關(guān)于x的函數(shù)y=
(1-t)x-t2
x
=（1-t）-
t2
x
 的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且函數(shù)在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函數(shù)．
故有a=f（a），且b=f（b），即
(1-t)a+t2
a
=a，
(1-t)b+t2
b
=b．
即 a2+（t-1）a+t2=0，且 b2+（t-1）b+t2=0，
故a、b是方程x2+（t-1）x+t2=0的兩個同號的實數(shù)根．
由判別式大于0，容易求得t∈（-1，
1
3
）．
由韋達定理可得b-a=
(t-1)2-4t2
=
-3t2-2t+1
，故當t=-
1
3
時，b-a取得最大值為
2
3
3
，
故答案為
2
3
3
．
點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x-4αsinx-3α（α∈R）的最大值M（α）
（1）求M（α）
（2）求M（α）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=（3t-2）x是R上的減函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是
2
3
＜t＜1
2
3
＜t＜1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=
x2+1+c
x2+c

（1）若c=-1，求該函數(shù)的值域．
（2）當c滿足什么條件時，該函數(shù)的值域為[2，+∞）？說明你的理由．
（3）求證：若c＞1，則y≥
1+c
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x)=a
x
3
 
+b
x
2
 
+cx+d，x∈R（a，b，c，d為常數(shù)且a≠0），f'（x）=0是關(guān)于x的一元二次方程，根的判別式為△，給出下列四個結(jié)論：
①△＜0是y=f（x）在（-∞，+∞）為單調(diào)函數(shù)的充要條件；
②若x1、x2分別為y=f（x）的極小值點和極大值點，則x2＞x1；
③當a＞0，△=0時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
④當c=3，b=0，a∈（0，1）時，y=f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
其中正確結(jié)論的序號是
 
．（填寫你認為正確的所有結(jié)論序號）

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