【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣1+ (a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值;
(3)當(dāng)a=1的值時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),求k的最大值.

【答案】
(1)解:由f(x)=x﹣1+ ,得f′(x)=1﹣ ,

又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,

∴f′(1)=0,即1﹣ =0,解得a=e.


(2)解:f′(x)=1﹣

①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù),所以f(x)無極值;

②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得ex=a,x=lna,

x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0;

∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,

故f(x)在x=lna處取到極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值.

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=lna處取到極小值lna,無極大值.


(3)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x﹣1+ ,令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,

則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn),

等價(jià)于方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解.

假設(shè)k>1,此時(shí)g(0)=1>0,g( )=﹣1+ <0,

又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解,

與“方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故k≤1.

又k=1時(shí),g(x)= >0,知方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解,

所以k的最大值為1.


【解析】(1)依題意,f′(1)=0,從而可求得a的值;(2)f′(x)=1﹣ ,分①a≤0時(shí)②a>0討論,可知f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,從而可求其極值;(3)令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點(diǎn)方程g(x)=0在R上沒有實(shí)數(shù)解,分k>1與k≤1討論即可得答案.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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B.無論取何實(shí)數(shù),其圖象始終過定點(diǎn)

C.其圖象對(duì)稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會(huì)因的取值不同而改變

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1)求的值;

2)記直線的斜率分別為,是否存在常數(shù),使得?若存在,求值;若不存在,說明理由;

3)求證:直線必過點(diǎn)

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1)求甲同學(xué)購買3種書籍的概率;

2)設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

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甲說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”; 乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;

丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”; 丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是( )

A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品

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x

1.08

1.12

1.19

1.28

1.36

1.48

1.59

1.68

1.80

1.87

y

2.25

2.37

2.40

2.55

2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

(1)通過畫散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;

(2)①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程;

②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬件時(shí),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為多少萬元?

(均精確到0.001)

附注:①參考數(shù)據(jù):,

②參考公式:相關(guān)系數(shù),

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

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