設平面上向量
a
=(cos2α，sin2α)，(0≤α＜π)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
a
與
b
不共線．
（Ⅰ）證明向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（Ⅱ）若兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等，試求角α．
分析：（Ⅰ）計算|
a
|，|
b
|，通過計算(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=|
a
|2-|
b
|2=0，證明向量
a
+
b
與
a
-
b
垂直；
（Ⅱ）兩個向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等，滿足(
3
•
a
+
b
)2=(
a
-
3
b
)2，得到sin(2α+
π
6
)=0，然后求角α．
解答：解：（Ⅰ）∵|
a
|=
cos22α+sin22α
=1，
|
b
|=
(
1
2
)2+(
3
2
)2
=1
∴(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2-
b
2=|
a
|2-|
b
|2=0
∴(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)；（5分）
（Ⅱ）由題意：(
3
•
a
+
b
)2=(
a
-
3
b
)2
得：
a
•
b
=0∴
1
2
cos2α+
3
2
sin2α=0
得sin(2α+
π
6
)=0∴2α+
π
6
=kπ，k∈Z（10分）
又0≤α＜π，所以α=
5π
12
或
11π
12
．（12分）
點評：本題考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的模，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設矩陣M所對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y∈R，i，j為直角坐標平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+
2
)j，b=xi+(y-
2
)，且|a|+|b|=4．
（I）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（II）若軌跡C上在第一象限的一點P的橫坐標為1，作斜率為
2
的直線l與軌跡C交于不同兩點A、B，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：非零向量
a
，
b
，|
a
|=|
b
|是(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)的充要條件；命題q：M為平面上一動點，A，B，C三點共線的充要條件是存在角α，使
MA
=sin2α
MB
+cos2α
MC
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：遼寧省沈陽二中2008－2009學年高三上學期期中考試(數(shù)學理) 題型：013

設平面上的向量滿足關系，又設與的模為1，且互相垂直，則與的夾角為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009高考遼寧省數(shù)學模擬試題分類匯編：平面向量 題型：013

設平面上的向量為1，且互相垂直，則的夾角為

[　　]

A．arccos

B．arccos

C．π－arccos

D．π－arccos

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