已知tan(α+β)=2tanβ,求證:3sinα=sin(α+2β).

思路分析：觀察條件與結(jié)論間的差異可知:

(1)函數(shù)名稱的差異是正弦與正切,可考慮切割化弦法化異為同.

(2)角的差異是α+β,β;α,α+2β.通過觀察可得已知角與未知角之間關(guān)系如下:(α+β)-β=α;(α+β)+β=α+2β,由此可化異為同.

證明:由已知tan(α+β)=2tanβ可得

.

∴sin(α+β)·cosβ=2cos(α+β)·sinβ

而sin(α+2β)=sin［(α+β)+β］

=sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ

=2cos(α+β)·sinβ+cos(α+β)·sinβ

=3cos(α+β)·sinβ.

又sinα=sin［（α+β)-β］

=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ

=2cos(α+β)·sinβ-cos(α+β)·sinβ

=cos(α+β)·sinβ

故sin(α+2β)=3sinα.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=-
1
3
，cosβ=
5
5
，α，β∈（0，π）
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求函數(shù)f(x)=
2
sin(x-α)+cos(x+β)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα，tanβ為方程x2-3x-3=0兩根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求sin2（α+β）-3sin（2α+2β）-3cos2（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tan(θ+
π
4
)=-3，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（　�。�
A、-
4
3
B、
5
4
C、-
3
4
D、
4
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tan
α
2
=2，
求；（1）tan(α+
π
4
)的值；
（2）
6sinα+cosα
3sinα-2cosα
的值；
（3）3sin2α+4sinαcosα+5cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知sinα-cosα=
17
13
，α∈（0，π），求tanα的值；
（2）已知tanα=2，求
2sinα-cosα
sinα+3cosα
．

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