Question

已知方向向量為v=（1，

3

）的直線l過點(diǎn)（0，-2

3

）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足

OM

•

ON

=

4

3

6

．cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）解法一：直線l：y=

3

x-2

3

，過原點(diǎn)垂直l的直線方程為y=-

3

3

x，這兩個(gè)方程聯(lián)立可知x=

3

2

．再由橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，可知

a2

c

=3．由此可以求出橢圓C的方程．
解法二：直線l：y=

3

x-3

3

．設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則

q 2 = 3 • p 2 -2 3 3 • q p =-1.

解得p=3．由橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，知

a2

c

=3．由此能夠推出橢圓C的方程．
（II）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m：y=k（x+2）代入

x2

6

+

y2

2

=1，整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系和點(diǎn)到直線 的距離求解．

解答：解：（I）解法一：直線l：y=

3

x-2

3

，①
過原點(diǎn)垂直l的直線方程為y=-

3

3

x，②
解①②得x=

3

2

．
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∴

a2

c

=2×

3

2

=3．
∵直線l過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1③
解法二：直線l：y=

3

x-3

3

．
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則

q 2 = 3 • p 2 -2 3 3 • q p =-1.

解得p=3．
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∴

a2

c

=3．
∵直線l過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1③

（II）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
當(dāng)直線m不垂直x軸時(shí)，直線m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=-

12k2

3k2+1

，x₁•x₂=

12k2-6

3k2+1

，
|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 12k2 3k2+1 )2-4• 12k2-6 3k2+1

=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，
點(diǎn)O到直線MN的距離d=

|2k|

1+k2

．
∵

OM

•

ON

=

4

3

6

cot∠MON，即|

OM

|•|

ON

|cos∠MON=

4

3

6

cos∠MON

sin∠MON

≠0，
∴|

OM

|•|

ON

|sin∠MON=4

6

，∴S_△OMN=

2

3

6

．∴|MN|•d=

4

3

6

，
即4

6

|k|

k2+1

=

4

3

6

（3k²+1），
整理得k²=

1

3

，∴k=±

3

3

．
當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足S_△OMN=

2

3

6

．
故直線m的方程為y=

3

3

x+

2 3

3

，或y=-

3

3

x-

2 3

3

，或x=-2．
經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足

OM

•

ON

≠0．
所以所求直線方程為y=

3

3

x+

2 3

3

，或y=-

3

3

x-

2 3

3

，或x=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線的橢圓的位置關(guān)系，具有一定的難度，解題時(shí)要注意培養(yǎng)運(yùn)算能力．