Question

13．在平面直角坐標系下，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸為非負半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ-4cosθ=0．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)得到直線l的普通方程，利用ρ²-4ρcosθ=0，得出曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，利用參數(shù)的幾何意義求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的普通方程為x-y-1=0，…（2分）
由ρ-4cosθ=0?ρ²-4ρcosθ=0?x²+y²-4x=0?（x-2）²+y²=4，
即曲線C的直角坐標方程為（x-2）²+y²=4，…（5分）
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=4$，即${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$，
設(shè)方程${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$的兩根分別為t₁，t₂，則$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{14}$．…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．