已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,常數(shù)λ>0,且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)a1>0,λ=100,當(dāng)n為何值時(shí),數(shù)列{lg
1
an
}
的前n項(xiàng)和最大?
解(I)當(dāng)n=1時(shí),λ a12 =2s1=2a1
∴a1(λa1-2)=0
若取a1=0,則sn=0,an=sn-sn-1=0
∴an=0(n≥1)
若a1≠0,則a1=
2
λ
,當(dāng)n≥2時(shí),2an=
2
λ
+sn
2an-1=
2
λ
+sn-1

兩式相減可得,2an-2an-1=an
∴an=2an-1,從而可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列
∴an=a1•2n-1=
2
λ
2n-1
=
2n
λ

綜上可得,當(dāng)a1=0時(shí),an=0,當(dāng)a1≠0時(shí),an=
2n
λ

(II)當(dāng)a1>0且λ=100時(shí),令bn=lg
1
an

由(I)可知bn=lg
100
2n
=2-nlg2

∴{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列,公差為-lg2
∴b1>b2>…>b6=lg
100
26
=lg
100
64
>0
當(dāng)n≥7時(shí),bnb7=lg
100
27
=lg
100
128
<0

∴數(shù)列{lg
1
an
}
的前6項(xiàng)和最大
練習(xí)冊系列答案
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