Question

【題目】設函數（為自然對數的底數，）.

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在區(qū)間上具有單調性，求的取值范圍；

（3）若函數有且僅有個不同的零點，且，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據，對函數求導，求出，，進而可得切線方程；

（2）先對函數求導，得到，分別討論函數在區(qū)間上單調遞增，函數在區(qū)間上單調遞減，兩種情況，即可求出參數范圍；

（3）先由題意，得到有且僅有兩個不等于的不同零點，設，對函數求導，得出的單調性，推出有且僅有兩個不等實數根，且一個根小于，一個根大于，再由題意，得到，為的兩個不等實數根，推出，設，，，對其求導，研究其單調性，進而可得出結果.

解：（1）當時，，，，，

故的圖象在處的切線方程為，即.

（2）因為，

①若函數在區(qū)間上單調遞增，則恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

②若函數在區(qū)間上單調遞減，則恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

綜上，的取值范圍為.

（3）函數的零點即為方程的實數根，

故或，由，得，

∴有且僅有兩個不等于的不同零點，

由，得，設，

則，由，得；由，得.

故在上單調遞增，在上單調遞減，

故有且僅有兩個不等實數根，且一個根小于，一個根大于，

∵有且僅有個不同的零點，，

∴，為的兩個不等實數根，

∴，，兩式相減，得，∴，

兩式相加，得，

設，由且，得，，

設，，

則，設，，則，

設，，則在上恒成立，

∴在上單調遞增，∴在上恒成立，

則在上恒成立，∴在上單調遞增，

∴在上恒成立，則在上恒成立，∴在上單調遞增，

所以,,，即.