Question

已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O焦點(diǎn)在x上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C左、右焦點(diǎn)，M橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

，可列出方程，由此可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，設(shè)圓Q的半徑為r，點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)圓Q與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求點(diǎn)P坐標(biāo)及圓的方程．

解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因?yàn)镸是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4
∴

bc=4 b2+c2=8

，
∴b=c=2，a=2

2

，
∴所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設(shè)存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．
設(shè)圓Q的半徑為r，點(diǎn)P（x₀，y₀），
因?yàn)閳AQ與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4 2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|
∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18 x02 8 + y02 4 =1

解得x0=2，y0=±

2

當(dāng)P（2，

2

）時(shí)，直線PF₁的方程為：x-2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；當(dāng)P（2，-

2

）時(shí)，直線PF₁的方程為：x+2

2

y+2=0，Q到直線PF₁的距離=

|1+2|

3

=1；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；
所以存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，點(diǎn)P（2，±

2

），圓的方程為：（x-1）²+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓位置關(guān)系，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與圓位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，是中檔題．