已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C左、右焦點,M橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l橢圓交于A、B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點Q的坐標為(1,0)存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切.若存在,求出點P坐標及圓的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由題意設橢圓的方程為,根據(jù)M是橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為,可列出方程,由此可求橢圓方程;
(2)假設存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切,設圓Q的半徑為r,點P(x,y),根據(jù)圓Q與直線PF1,PF2都相切,所以PQ為∠F1PF2的角平分線,利用角平分線的性質(zhì),即可求得點P的坐標,從而可求點P坐標及圓的方程.
解答:解:(1)由題意設橢圓的方程為,
因為M是橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為
所以,4a=

∴b=c=2,a=2,
∴所求的橢圓方程為
(2)假設存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切.
設圓Q的半徑為r,點P(x,y),
因為圓Q與直線PF1,PF2都相切,所以PQ為∠F1PF2的角平分線,
=,∴=

∵|QF1|=3,∴
解得
當P(2,)時,直線PF1的方程為:x-2y+2=0,Q到直線PF1的距離=;直線PF2的方程為x-2=0,該圓與直線PF2相切;當P(2,-)時,直線PF1的方程為:x+2y+2=0,Q到直線PF1的距離=;直線PF2的方程為x-2=0,該圓與直線PF2相切;
所以存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切,點P(2,±),圓的方程為:(x-1)2+y2=1.
點評:本題考查直線與圓位置關(guān)系,直線與圓錐曲線位置關(guān)系,橢圓的標準方程,圓與圓位置關(guān)系,數(shù)形結(jié)合,運算能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,是中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C中心在坐標原點,離心率為
2
2
,左焦點為F1(-1,0).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過左焦點F1的直線l1,l2分別與橢圓相交于P、Q和M、N,若
PQ
MN
=0
,試用
直線l1的斜率k(k≠0)表示四邊形NQMP的面積S,求S的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C左、右焦點,M橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l橢圓交于A、B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為8
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設點Q的坐標為(1,0)存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切.若存在,求出點P坐標及圓的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C左、右焦點,M橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l橢圓交于A、B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為8
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設點Q的坐標為(1,0)存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切.若存在,求出點P坐標及圓的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011年河南省新鄉(xiāng)、許昌、平頂山高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C中心在坐標原點,離心率為,左焦點為F1(-1,0).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過左焦點F1的直線l1,l2分別與橢圓相交于P、Q和M、N,若,試用
直線l1的斜率k(k≠0)表示四邊形NQMP的面積S,求S的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案