Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=

1

2

x+b與C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)直線l過拋物線C的焦點F時，求|AB|；
（2）是否存在直線l使得直線OA、OB傾斜角之和為135°，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組．利用拋物線的定義，可求弦AB的長；
（2）假設(shè)存在直線l：y=

1

2

x+b使得直線OA、OB傾斜角之和為135°，設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，斜率分別為k₁，k₂，則α+β=135°，從而tan(α+β)=

k1+k2

1-k1k2

=-1，其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

y2

x2

=

4

y2

，由此即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），代入直線l：y=

1

2

x+b可得b=-

1

2

，∴直線l：y=

1

2

x-

1

2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立方程可得

y2=4x y= 1 2 x- 1 2

，消去y得x²-18x+1=0，
∴x₁+x₂=18，
∴|AB|=x₁+x₂+p=18+2=20；
（2）假設(shè)存在直線l：y=

1

2

x+b使得直線OA、OB傾斜角之和為135°，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立方程可得

y2=4x y= 1 2 x+b

消去x得y²-8y+8b=0，
∴y₁+y₂=8，y₁y₂=8b
設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，斜率分別為k₁，k₂，則α+β=135°
∴tan(α+β)=

k1+k2

1-k1k2

=-1，其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

y2

x2

=

4

y2

∴y₁y₂-16+4（y₁+y₂）=0，
∴8b-16+32=0，解得b=-2
代入△=64-32b=128＞0，滿足題意
綜上，存在直線l：y=

1

2

x-2使得直線OA、OB傾斜角之和為135°．

點評：本題考查拋物線的弦長，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解．