Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

，D、E分別是AB、BB₁的中點，且AC=BC=AA₁=2．
（1）求證：直線BC₁∥平面A₁CD；
（2）求平面A₁CD與平面A₁C₁E所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明直線BC₁∥平面A₁CD．
（2）分別求出平面A₁C₁E的法向量和平面A₁CD的法向量，利用向量法能求出平面A₁CD與平面A₁C₁E所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），
C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，1，0），

BC1

=（0，-2，2），

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0），
設(shè)平面A₁CD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CA1 =2x+2z=0 n • CD =x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
∵

n

•

BC1

=0+2-2=0，且BC₁不包含于平面A₁CD，
∴直線BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：∵E（0，2，1），
∴

C1A1

=（2，0，0），

C1E

=（0，2，-1），
設(shè)平面A₁C₁E的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • C1A1 =2a=0 m • C1E =2b-c=0

，
取b=1，得

m

=（0，1，2），
設(shè)平面A₁CD與平面A₁C₁E所成角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0-1-2

3 • 5

|=

3

5

，
∴sinθ=

1- 3 5

=

10

5

．
∴平面A₁CD與平面A₁C₁E所成角的正弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．